图论

Теория графов

919 次查看
莫斯科物理科学与技术学院
Coursera
  • 完成时间大约为 23 个小时
  • 混合难度
  • 俄语
注:本课程由Coursera和Linkshare共同提供,因开课平台的各种因素变化,以上开课日期仅供参考

课程概况

Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются “планарными”. Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день.

Граф как математический объект оказался полезным во многих теоретических и практических задачах. Наверное, дело в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям нашего мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии.

Этот курс служит введением в современную теорию графов. Мы, конечно, обсудим классические задачи, но и поговорим про более недавние результаты и тенденции, например, про экстремальную теорию графов.

Материал изложен с самых основ и на доступном языке. Целью этого курса является не только познакомить вас с вопросами и методами теории графов, но и развить у неподготовленных слушателей культуру математического мышления. Поэтому курс доступен широкому кругу слушателей. Для освоения материала будет достаточно знания математики на хорошем школьном уровне и базовых знаний комбинаторики.

Курс состоит из 7 учебных недель и экзамена. Для успешного решения большинства задач из тестов достаточно освоить материал, рассказанный на лекциях. На семинарах разбираются и более сложные задачи, которые смогут заинтересовать слушателя, уже знакомого с основами теории графов.

课程大纲

Введение. Базовые понятия теории графов

В первую неделю курса мы познакомимся с понятием графа, научимся отличать граф от его изображения, поговорим о разных видах графов. Мы вспомним, с чего началась теория графов, научимся представлять в виде графа структуру интернета. Мы обсудим такие важные понятия, как маршруты в графах, степень вершины, связность, а также начнем говорить про важный класс графов - деревья.

Эквивалентные определения дерева. Планарные графы

На этой неделе мы научимся определять деревья четырьмя различными способами, и поговорим о том, как правильно раскрашивать географические карты. Мы вспомним знаменитую теорему о четырех красках, а также критерий Куратовского о том, как определить, можно ли нарисовать данный граф на плоскости без пересечений ребер. В последней части лекции мы обсудим формулу Эйлера для планарных графов и некоторые из её множественных следствий.

Формула Кэли. Унициклические графы. Эйлеровы циклы

На этой неделе мы перечислим все деревья. Для этого нам потребуется перенять опыт древних по подсчету баранов (или козлов). Не остановившись на этом, перечислим и все леса и унициклические графы. Затем мы вернемся к задаче о Кёнигсбергских мостах и получим полное решение этого вопроса.

Гамильтоновы циклы

На этой неделе мы продолжим обсуждать циклы, проходящие через весь граф. На этот раз мы поговорим про циклы, проходящие через все вершины графа. В отличие от эйлеровых циклов, здесь нет необходимого и достаточного критерия наличия такого цикла. Есть только достаточные условия, и мы обсудим два таких условия, довольно разных по своей природе. По пути мы обсудим такие важные характеристики графа, как независимое число и k-связность. В качестве дополнения, мы расскажем об одном очень интересном классе графов, для которого один из критериев работает, а другой - нет.

Паросочетания. Теоремы Холла и Кёнига

На этой неделе мы поговорим про паросочетания. Мы узнаем, что нужно, чтобы переженить всех юношей и девушек по любви. Мы обсудим две классических теоремы, у одной из которых очень изящное доказательство по индукции, а у другой не менее изящное доказательство алгоритмическое. А на семинаре мы узнаем, что эти две теоремы эквивалентны.

Экстремальная теория графов. Теорема Турана

На этой неделе мы начнем разговор про экстремальную теорию графов, которая ставит вопросы про то, с какого момента графы начинают обладать тем или иным свойством. В частности, мы выясним, сколько ребер должен иметь граф, чтобы он гарантированно содержал треугольник. В конце лекции мы узнаем, что графы на плоскости в экстремальных задачах ведут себя несколько по-другому, нежели графы абстрактные.

Теория Рамсея

На заключительной лекции мы поговорим про теорию Рамсея. Вы узнаете много нового о знакомствах, о том, сколько раз можно в одном доказательстве применить принцип Дирихле и о том, что доказать существование графа и привести пример такого графа - это зачастую совсем разные по сложности задачи.

Экзамен

Заключительная работа по материалу всего курса

千万首歌曲。全无广告干扰。
此外,您还能在所有设备上欣赏您的整个音乐资料库。免费畅听 3 个月,之后每月只需 ¥10.00。
Apple 广告
声明:MOOC中国十分重视知识产权问题,我们发布之课程均源自下列机构,版权均归其所有,本站仅作报道收录并尊重其著作权益。感谢他们对MOOC事业做出的贡献!
  • Coursera
  • edX
  • OpenLearning
  • FutureLearn
  • iversity
  • Udacity
  • NovoEd
  • Canvas
  • Open2Study
  • Google
  • ewant
  • FUN
  • IOC-Athlete-MOOC
  • World-Science-U
  • Codecademy
  • CourseSites
  • opencourseworld
  • ShareCourse
  • gacco
  • MiriadaX
  • JANUX
  • openhpi
  • Stanford-Open-Edx
  • 网易云课堂
  • 中国大学MOOC
  • 学堂在线
  • 顶你学堂
  • 华文慕课
  • 好大学在线CnMooc
  • (部分课程由Coursera、Udemy、Linkshare共同提供)

© 2008-2020 MOOC.CN 慕课改变你,你改变世界