微积分(二)

微积分是经过许多数学家艰辛卓越的努力而完成,是人类思想的伟大成就,是撼人心灵的智力奋斗结晶。 微积分是高等院校许多专业的一门重要基础课。她对培养、提高同学们的素质有着重要作用;她对工程技术的…

国家精品数学与统计
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北京理工大学
中国大学MOOC
  • 完成时间大约为 18
  • 初级
  • 中文
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课程概况

微积分是研究变量的数学,是运动的数学,是微分学与积分学的总称。

微积分创立于17世纪,它是一系列数学思想历经漫长岁月演变的结果,特别是积分的思想早在古希腊已经萌芽。公元前3世纪,阿基米德在解决抛物线弓形的面积、球冠面积和旋转双曲面的体积问题中就隐含着近代积分学的思想。

与积分学相比,微分学的起源则要晚些。17世纪以前,真正意义上的微积分研究的例子是很罕见的。近代微积分的酝酿,主要是在17世纪上半叶。自然科学的综合突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前地成为人们关注的焦点:确定非匀速物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;望远镜的设计使任意曲线的切线问题变得不可回避;确定炮弹的最大射程及寻求星轨的近日点与远日点等涉及到函数极值问题丞待解决。与此同时,行星沿轨道运行的路程,行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算又使对积分学的基本问题(面积、体积、曲线长、重心和引力计算)的兴趣被重新激发起来。17世纪许多著名数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,为微积分的创立提供了重要的工作准备。他们的一系列前驱性的工作,沿着不同的方向向着微积分的大门逼近,但这仍不足以标志微积分作为一门独立学科的诞生。

自觉地意识到一个伟大的发现并实际去完成它的是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)。他们总结并发展了前人的思想,提炼了微积分的基本概念和方法,各自独立地创立论微积分。牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人,就微积分的创立而言,牛顿主要是以运动学为背景,而莱布尼兹是出于几何问题的思考。尽管在背景、方法和形式上存在差异,各有特色,他们二人的功绩是相当的。经过他们的工作,微积分成为了一门独立的学科,不再是解决个别问题的特殊方法,而是能应用于许多类函数且有普适性的方法。他们的最大功绩是将两个貌似不相关的问题联系起来,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题),建立了两者之间的桥梁—牛顿-莱布尼兹公式。

微积分的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”,是人类对自然界认识到一个大飞跃,是数学发展中的一个转折点,它使运动进入到数学,不再孤立、静止地看待一个个问题,而是采用极限的方法,普遍地解决问题。

微积分自诞生之日起就与实际应用紧密结合在一起,到今天依然如此。时至今日,它在天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、应用数学及社会科学中有越来越广泛的应用,其程度足以令那些当初创立这门学科的物理学家、数学家和天文学家震惊和欣慰。

微积分是各高等院校许多专业的一门重要基础课,她对培养、提高同学们的素质有着重要作用。它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学家,显微镜之于生物学家一样。而且,她对思维能力的培养可以使人终身受益。

微积分的内容很丰富,它呈现出概念复杂、理论性强、表达形式抽象的特点。学习本课程时,需要正确领会一些重要的数学思想方法,培养抽象思维与逻辑推理能力,掌握基本运算方法,逐步养成自己综合运用所学的数学知识解决实际问题的意识和兴趣,培养建立实际问题的数学模型,运用数学方法解决实际问题的能力。

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课程大纲

第一周(预备知识)
6.1 空间直角坐标系-part1 空间直角坐标系
6.1 空间直角坐标系-part2 两点间距离及坐标平移公式
6.2 向量及其线性运算-part1 向量的相关概念
6.2 向量及其线性运算-part2 向量的加减法
6.2 向量及其线性运算-part3 数与向量的乘法运算
6.2 向量及其线性运算-part4 向量的投影及坐标表示
6.2 向量及其线性运算-part5 向量的模及方向余弦

第1周测试

第二周:向量的乘积与平面方程
6.3 向量的乘积-part1A 向量的数量积A
6.3 向量的乘积-part1B 向量的数量积B
6.3 向量的乘积-part2A 向量的向量积A
6.3 向量的乘积-part2B 向量的向量积B
6.3 向量的乘积-part3 向量的混合积
6.4 平面的方程-part1A 平面的方程A
6.4 平面的方程-part1B 平面的方程B
6.4 平面的方程-part2 有关平面的一些问题

第2周测试

第三周:空间直线与空间曲面(二次曲面)
6.5 空间直线方程-part1 空间直线方程
6.5 空间直线方程-part2 直线与直线、直线与平面夹角
6.6 空间曲面与空间曲线-part1 空间曲面与空间曲线
6.6 空间曲面与空间曲线-part2 几种常见曲面
6.6 空间曲面与空间曲线-part3 空间曲线在坐标面上的投影
6.7 二次曲面

第3周测试
经典习题讲解:空间解析几何
空间直线及其方程习题1
空间直线及其方程习题2
空间平面及其方程习题1
空间平面及其方程习题2
空间平面及其方程习题3

第四周:多元函数的极限、连续与偏导
7.1 多元函数的极限与连续-part1 多元函数的概念
7.1 多元函数的极限与连续-part2 多元函数的极限
7.1 多元函数的极限与连续-part3 多元函数的连续性
7.2 偏导数-part1 偏导数的概念
7.2 偏导数-part2 偏导数的求法
7.2 偏导数-part3 偏导数与连续的关系及几何意义
7.2 偏导数-part4 高阶偏导的概念与性质

第4周测试A

第4周测试B

第五周:全微分公式、复合函数与隐函数的微分
7.3 全微分-part1 全微分的概念及可微的必要条件
7.3 全微分-part2 全微分存在条件及计算公式
7.3 全微分-part3 全微分在近似计算及误差估计中的应用
7.4 复合函数与隐函数的微分法-part1 复合函数一阶偏导
7.4 复合函数与隐函数的微分法-part2 复合函数二阶偏导
7.4 复合函数与隐函数的微分法-part3 全微分的形式不变性与偏导变换
7.4 复合函数与隐函数的微分法-part4 隐函数存在定理
7.4 复合函数与隐函数的微分法-part5A 隐函数求导法A
7.4 复合函数与隐函数的微分法-part5B 隐函数求导法B

第五周测试题A
综合习题:多元函数微分学习题(一)
偏导数定义习题1
复合函数求偏导习题1
复合函数求偏导习题2
隐函数求导习题1

第六周:方向导数与梯度及微分学的几何应用
7.5 方向导数与梯度-part1 方向导数的概念
7.5 方向导数与梯度-part2 方向导数的计算公式
7.5 方向导数与梯度-part3 数量场的梯度
7.6 微分学在几何上的应用-part1 向量函数及其运算
7.6 微分学在几何上的应用-part2 空间曲线的切线与法平面
7.6 微分学在几何上的应用-part3 曲面切平面与法线的定义及性质
7.6 微分学在几何上的应用-part4 曲面切平面与法线的求法

第六周测试A

第七周:二元函数的极值与最值
7.7 二元函数的泰勒公式
7.8 多元函数的极值-part1 二元函数的极值
7.8 多元函数的极值-part2 二元函数的最值
7.8 多元函数的极值-part3 求条件极值的方法
7.8 多元函数的极值-part4 求条件极值的例题

第七周测试题A

第七周测试题B
综合习题:多元函数微分学习题(二)
多元函数微分学几何应用习题1
多元函数微分学几何应用习题2
多元函数微分学几何应用习题3
多元函数的极值习题1
多元函数的极值习题2
多元函数的条件极值习题1

第八周:二重积分的定义与计算
8.1 重积分的概念与性质-part 1 二重积分的概念
8.1 重积分的概念与性质-part 2 二重积分的性质
8.2 二重积分的计算-part 1 直角坐标系下二重积分的计算
8.2 二重积分的计算-part 2 极坐标系下二重积分的计算

第八周测试A

第八周测试B
综合习题:多元函数的积分
直角坐标系下二重积分计算习题1
直角坐标系下二重积分计算习题2
直角坐标系下二重积分计算习题3
重积分的应用习题1(计算质心)
重积分的应用习题2(计算转动惯量)
重积分的应用习题3(计算侧压力)
重积分的应用习题4(计算引力)

第九周:三重积分的计算与应用
8.3 三重积分的计算-part 1 三重积分的概念和性质
8.3 三重积分的计算-part 2 三重积分的计算(投影法)
8.3 三重积分的计算-part 3 三重积分的计算(截面法)
8.3 三重积分的计算-part 4 柱坐标系下三重积分的计算
8.3 三重积分的计算-part 5 球坐标系下三重积分的计算
8.4 重积分的应用-part 1 利用重积分计算曲面面积
8.4 重积分的应用-part 2 利用重积分计算质心坐标
8.4 重积分的应用-part 3 利用重积分计算转动惯量
8.4 重积分的应用-part 4 利用重积分计算引力

第九周测试A

第九周测试B

第十周:第一类曲线积分与第二类曲线积分
9.1 第一类曲线积分-part1 第一类曲线积分的概念和性质
9.1 第一类曲线积分-part2 第一类曲线积分的计算方法
9.1 第一类曲线积分-part3 第一类曲线积分的几何意义
9.2  第二类曲线积分-part1 第二类曲线积分的概念和性质
9.2 第二类曲线积分-part2 第二类曲线积分的计算方法
9.2 第二类曲线积分-part3 两类曲线积分的关系

第十周测试A

第十周测试B

第十一周:格林公式与第一类曲面积分
9.3  格林公式-part1 格林公式
9.3  格林公式-part2 积分与路径无关的条件
9.3  格林公式-part3 原函数与全微分方程
9.4  第一类曲面积分-part1 第一类曲面积分的概念和性质
9.4  第一类曲面积分-part2 第一类曲面积分的计算方法
9.4  第一类曲面积分-part3 曲面的参数方程

第十一周测试A

第十一周测试B
综合习题:第一类曲线积分与第二类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算习题1

第一类曲线积分的计算习题2

第一类曲线积分的计算习题3
格林公式习题1

第十二周:第二类曲面积分与高斯公式
9.5 第二类曲面积分-part1 有向投影
9.5 第二类曲面积分-part2 第二类曲面积分的概念和性质
9.5 第二类曲面积分-part3 第二类曲面积分的计算方法
9.5 第二类曲面积分-part4 两类曲面积分的关系
9.6 高斯公式与散度part1 高斯公式
9.6 高斯公式与散度part2 通量与散度

第十二周测试A

第十二周测试B
级数部分测试题

第十三周:斯托克斯公式与旋度
9.7 斯托克斯公式与旋度part 1 斯托克斯公式
9.7 斯托克斯公式与旋度part 2 环量与旋度

第十三周测试A

第十三周测试B
综合习题:曲面积分与高斯公式
高斯公式应用1
高斯公式应用2
向量场的通量与散度
综合习题:级数
正项级数收敛性
幂级数求和习题1
幂级数求和习题2
函数的幂级数展开
利用幂级数求数项级数的和
傅里叶级数
级数部分测试题

预备知识

学习过微积分(一 ),即单变量微积分,即可学习微积分 (二 ).

参考资料

张润琦,陈一宏. 微积分(下册), 机械工业出版社,北京,2017年.
孙兵,毛京中. 高等数学教程(下册). 高等教育出版社,北京,2017年. 
马知恩,王绵森. 工科数学分析基础. 高等教育出版社,北京,1998年.
范周田,张汉林. 高等数学教程. 机械工业出版社,北京,2011年

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