线性代数与空间解析几何

瑞典数学家 Lars Garding 在其名著 Encounter with Mathematics 中说:“如果不熟悉线性代数的概念,要去学习自然科学,现在看来就和文盲差不多。” 线性代数与我们的学习和生活的关系越来越紧密。让我们…

国家精品数学与统计
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哈尔滨工业大学
中国大学MOOC
  • 完成时间大约为 15
  • 初级
  • 中文
注:因开课平台的各种因素变化,以上开课日期仅供参考

课程概况

本课程是哈尔滨工业大学工科各专业学生必修的自然科学基础理论课程。通过本课程的学习,要使学生比较系统地理解、掌握有关的基本概念、基本理论和基本方法。在传授线性代数与空间解析几何的知识的同时,通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,为工科后继课程打下有关的数学基础。

课程的内容主要包括:行列式,矩阵,几何向量,n维向量,线性方程组(包括平面、直线位置关系),特征值、特征向量与相似矩阵,线性空间与线性变换,二次型与二次曲面。

本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融为了一门课程。 代数中的许多概念非常抽象,几何为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数为几何提供了便利的研究工具。代数与几何的融合能加强学生对数与形内在联系的理解,学会用代数的方法处理几何问题。 

本课程的教学注重教育学生认识和理解现实生活中的“线性模型”;领会“数”与“形”的内在联系;掌握线性代数的核心内容,即:线性方程组的解的存在条件、解的结构,求解方法及线性方程组的几何背景;矩阵在处理离散、线性的问题中所起的作用与所扮演的角色;二次型的几何背景、化简及应用。为此我们给同学们准备了“图像压缩”,“人脸识别”,“供给侧改革”等线性代数在实际生活中的应用案例。

课程大纲

01
绪论
了解学科特点及重要性,学习方法,作业答疑,考核方法等事项。
课时
郑宝东老师浅谈课程特点及学习方法
02
行列式
了解行列式的概念,理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。掌握行列的性质,按行、列展开定理,Gramer法则。掌握利用行列式的定义、性质、及行列式展开定理计算行列式,并解决相关问题的方法。
课时
1.0 行列式引言;1.1 n 阶行列式的概念;1.2 行列式的性质编辑教学内容;1.3 行列式的展开定理;1.4 Cramer 法则;1.5 行列式等价定义的证明编辑教学内容;第一章课件
03
矩阵
理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。掌握矩阵的初等变换,掌握初等矩阵的性质,理解矩阵等价及分块矩阵的概念。 会进行矩阵的线性运算、乘法、转置以及求逆矩阵。会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。掌握分块阵的运算及初等变换。会利用矩阵的相关概念证明有关结论。
课时
2.1 矩阵的概念;2.2 矩阵的运算;2.3 可逆矩阵;2.4 矩阵的初等变换;2.5 矩阵的秩;2.6 初等矩阵;2.7 分块矩阵的概念及其运算;2.8 分块矩阵的初等变换;第二章课件
04
几何向量
理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)。了解两个向量垂直、平行的条件。掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面方程和直线方程及其求法。会计算向量的和、数乘、数量积、向量积及混合积。会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
课时
3.1 几何向量的概念及其线性运算;3.2 几何向量的数量积、向量积和混合积;3.3 空间中的平面与直线;第三章 课件
05
n 维向量
理解n 维向量的概念,了解内积的概念。理解向量组线性相关、线性无关的定义。了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵秩的关系。了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。掌握线性无关向量组标准正交化的施密特(Schimidt)方法。了解标准正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论,判定向量组的相关性。会利用矩阵的秩求向量组的秩。会进行向量空间中的坐标变换。会用施密特(Schimidt)方法求规范正交基。
课时
4.1 n 维向量的概念及线性运算;4.2 向量组线性相关与线性无关;4.3 向量组的秩;4.4 向量空间;4.5 欧氏空间;4.6 坐标变换在图像压缩中的应用;第四章课件。
06
线性方程组
理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。理解齐次线性方程组解的结构及通解的概念。了解如何利用线性方程组解决实际问题的一般方法。掌握判定方程组是否有解,解是否唯一的方法。掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。会利用线性方程组解决相关的几何问题。
课时
5.1 线性方程组有解的充要条件;5.2 线性方程组解的结构;5.3 利用矩阵的初等变换解线性方程组;5.4 应用实例;第五章课件
07
特征值、特征向量及相似矩阵
理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质。了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。会求矩阵的特征值和特征向量。会判定矩阵是否可以相似对角化。掌握通过相似变换化实对称阵为对角阵的方法。
课时
6.1 特征值与特征向量;6.2 相似矩阵;6.3 特征值与特征向量的应用-特征脸;第六章课件
08
线性空间与线性变换
了解线性空间、子空间、基、维数、坐标等概念。掌握基变换和坐标变换公式。掌握线性变换的定义,线性变换的矩阵的概念。会求过渡矩阵及同一向量在不同基下的坐标。会求在不同基下的线性变换的矩阵。
课时
8.0 第八章前言;8.1 实二次型;8.2 化实二次型为标准形;8.3 正定实二次型;8.4 空间中的曲面与曲线;8.5.二次曲面;第八章课件

预备知识

高中数学基本知识。

参考资料

1.《线性代数与空间解析几何》(第4版),郑宝东等,高等教育出版社。
2.《线性代数与空间解析几何》(第4版),黄廷祝等,高等教育出版社。
3.《Introduction to Linear Algebra》(4th Edition), Gilbert  Strang.   
4.《Linear Algebra and Its Applications》(4th Edition), David Lay.

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