线性代数与空间解析几何(二)

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国家精品数学与统计
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电子科技大学
中国大学MOOC
  • 完成时间大约为 10
  • 初级
  • 中文
注:因开课平台的各种因素变化,以上开课日期仅供参考

课程概况

“线性代数与空间解析几何”是大学理、工、医、农、经、管类的公共基础数学课程。在当今科技飞速发展,特别是计算机科学及其应用日新月异的时代,数据处理、科学计算是各学科领域中无法回避的问题,本课程的主要任务就是展现科学计算中最普遍也是最基础的方法——线性运算及关系中的一般性方法。

本课程的内容包括:n维向量空间,特征值与特征向量,二次型与二次曲面。其特点是将代数与几何融为一体,代数为几何问题的解决提供方法,代数又在几何空间的基础上得到延伸与扩展,课程的重心仍在“线性代数”上。

本课程分三章共15讲,为方便广大学习者,我们将每讲内容分成了若干小片段,一个片段讲解1~2个知识点,便于学习者理解掌握。针对每一讲的教学内容都配有一定量的练习题,每章结束都有一套单元检测题供学习者作为平时成绩考核之用。

本课程的教学目标是使学习者掌握本课程的主要知识,理解基本概念和基本理论,学会分析问题解决问题的基本方法;了解各部分知识的结构及知识的内在联系;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确、简捷地进行计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题;培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力,为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

课程大纲

01
n维向量空间与向量组的线性相关性
理解n维向量空间及子空间的概念;理解向量组线性组合、线性相关和线性无关的概念,掌握线性相关的各种判定方法。
课时

第四章n维向量空间学习指南
4-1.1 n维向量空间的概念
4-1.2 n维向量空间的子空间
练习题4-1
4-2.1 向量组的线性组合
4-2.2 向量组之间的线性表出
4-2.3 线性相关性的概念
4-2.4 线性相关性的判定
4-2.5 线性相关基本定理
练习题4-2
本周典型例题选讲——线性相关性的判定
本周典型例题选讲——线性相关性的概念
02
向量组的秩、最大无关组及线性方程组的解
理解向量组的秩与最大无关组的概念,熟练掌握用矩阵的初等变换求向量组的秩与最大无关组;理解齐次和非齐次线性方程组的解的性质,掌握基础解系的计算方法。
课时
4-3.1 向量组的秩与最大无关组的概念
4-3.2 矩阵的列秩和行秩
4-3.3 向量组之间的线性表出和秩
4-3.4 最大无关组的性质和等价叙述
4-3.5 n维向量空间的基、维数与坐标
练习题4-3
4-4.1 齐次方程组解的性质和基础解系
4-4.2 齐次方程组求解实例
4-4.3 非齐次方程组解的性质
4-4.4 非齐次方程组求解实例
练习题4-4
本周典型例题选讲——最大无关组的判定
本周典型例题选讲——齐次线性方程组的通解
03

第四章习题课、特征值与特征向量
理解特征值和特征向量的概念,掌握特征值和特征向量的性质与计算。
课时

第四章习题课1

第四章习题课2

第四章习题课3、4

第四章习题课5

第四章习题课6

第四章习题课7

第四章典型例题

第四章单元检测题

第五章特征值与特征向量学习指南
5-1.1 特征值与特征向量的定义
5-1.2 特征子空间
5-1.3 特征值与特征向量的判定
5-1.4 特征值与特征向量的计算
5-1.5 特征多项式
本周典型例题选讲——特征值与特征向量的概念
本周典型例题选讲——特征值与特征向量的性质
04
特征多项式及矩阵的相似对角化
掌握特征多项式的计算;理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
课时
5-1.6 f(A)等的特征多项式
5-1.7 思考与小结
练习题5-1
5-2.1 引例
5-2.2 相似的定义与性质
5-2.3 相似对角化的判定(1)
5-2.4 相似对角化的判定(2)
5-2.5 矩阵方幂的计算
5-2.6 内容小结
练习题5-2
本周典型例题选讲——相似矩阵的概念及性质
本周典型例题选讲——矩阵方幂的计算
05
n维向量空间的正交性及实对称矩阵的相似对角化
掌握标准正交基的定义,会利用施密特正交化方法进行线性无关向量组的标准正交化;了解实对称矩阵特征值和特征向量的性质,能够将实对称矩阵进行相似对角化。
课时
5-3.1 内积
5-3.2 cauchy-schwarz不等式
5-3.3 正交向量组与标准正交基
5-3.4 Gram-Schmidt正交化方法
5-3.5 正交矩阵
练习题5-3
5-4.1 共轭矩阵
5-4.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
5-4.3 实对称矩阵的相似对角化
5-4.4 综合例题
练习题5-4
本周典型例题选讲——正交矩阵的判定
本周典型例题选讲——实对称矩阵的特征值与特征向量
06
二次型及其标准形、正定二次型的概念
理解二次型的概念及其矩阵的表示形式,会用配方法和正交变换法化二次型为标准形;理解正定二次型的定义。
课时

第五章习题课1

第五章习题课2

第五章习题课3

第五章典型例题

第五章单元检测题

第六章二次型与二次曲面学习指南
6-1.1 二次型及其矩阵表示
6-1.2 矩阵的合同
6-1.3 用配方法化二次型为标准形
6-1.4 用正交变换化二次型为标准形
6-1.5 内容小结
练习题6-1
6-2.1 正定二次型的概念
本周典型例题选讲——二次型标准形的相关计算
本周典型例题选讲——正交变换法化二次型为标准形
07
正定二次型的性质、曲面与空间曲线
掌握正定二次型的相关性质,理解曲面方程与空间曲线并能进行相关计算。
课时
6-2.2 正定二次型的性质(1)
6-2.3 正定二次型的性质(2)
6-2.4 二次型的其它类型
6-2.5 内容小结
练习题6-2
6-3.1 曲面方程(1)
6-3.2 曲面方程(2)
6-3.3 曲面方程(3)
6-3.4 空间曲线(1)
6-3.5 空间曲线(2)
6-3.6 内容小结
练习题6-3
本周典型例题选讲——正定矩阵的判定
本周典型例题选讲——空间曲线的投影
08
空间曲线及二次曲面
了解不同曲面方程对应的不同曲面形状;能够利用截痕法研究二次曲面的各种性质。
课时
6-4.1 二次曲面的标准方程与图形(1)
6-4.2 二次曲面的标准方程与图形(2)
6-4.3 化二次曲面为标准方程
6-4.4 内容小结
练习题6-4

第六章习题课1

第六章习题课2

第六章习题课3

第六章典型例题

第六章单元检测题
本周典型例题选讲——旋转曲面方程的确定
本周典型例题选讲——正定矩阵的判定

预备知识

线性代数与空间解析几何(一)所介绍的知识。

参考资料

教学用书:国家“十二五”规划教材《线性代数与空间解析几何(第四版)》(黄廷祝,成孝予编),高等教育出版社,2015.9.
https://www.hepmall.com/index.php/product-21920.html
学习参考书:《线性代数与空间解析几何学习指导教程》,黄廷祝  蒲和平 高等教育出版社 2015.9
https://www.hepmall.com/index.php/product-21922.html

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