实用大众线性代数(MATLAB版)

以解决实际问题为主导,因此注重于对问题的建模,即建立矩阵模型;而不是推导数学课内的公式;本书提供的几十个实例,涉及十多门课程中的应用,包括复杂线性系统的化简、三维精密测量数据点的拟合…等后续课中的难题,都可用本课提供的方法解决,这都是古典线性代数束手无策的。

西安电子科技大学

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课程概述

传统的线性代数已经在数学系讲授了二百多年,但并未被非数学系接受,主要因为其计算量太大,无法实用。计算机和数学软件的出现,突破了这个瓶颈,使它的计算很易为工程师掌握,线性代数也因此于1960年代后成为许多非数学专业的公共基础课。对非数学专业而言,线性代数的重要作用体现在用计算机求解高阶的现实矩阵模型,不是去手工推证课程内部的数学公式,两者的大体差别可见表1。

可见对非数学系,经典的线性代数就像一条虫,只有和计算机相结合才能成为一条龙。这个转变是艰难的。推广线性代数主要还是靠数学系教师,如果不掺入新知识,简单照搬原数学系的线性代数,那就和计算机出现前一样,没多少用处。要对它进行改造,在数学系内闭门造车是不行的,必须面向应用,利用计算机,进行跨专业的创新研究。在实践了20多年后,美国于1990年提出了改革作为公共基础课的线性代数的LACSG五点建议,从顶向下推动改革:(1)线性代数必须满足非数学专业的需求;(2)要面向矩阵运算而不是向量空间;(3)要从学生的实际水平出发;(4)要使用最新的计算技术;(5)抽象内容应另设后续课去讲。随后,他们实施了为期六年的ATLAST计划,使大批线性代数教师学会了MATLAB软件。经过十年左右,他们的作为基础课的线性代数教材都用了计算机和MATLAB,理论趋向于更浅显易懂。

西安电子科技大学从2005年起进行了持续的探索,先根据国外1990年的做法,在校内进行了为期三年,包括40位教师和1200名学生的试点,效果很好。其结果得到教育部数学教指委的首肯和高教司的立项拨款支持。项目名称为“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数”,并指定陈怀琛教授为项目负责人,西安电子科技大学牵头,组织带动15-20个大学试行两年(2009-2010)。此项目于2011年结题,实际参加的大学有19个,200位教师,45000名学生受益。张景中、张尧学、林群、廖振鹏、徐宗本等五位院士在对此项目的鉴定中做了高度评价,特别建议在培养应用型人才中推广。

此项目的影响是深远的,例如西安电子科技大学的线性代数课程已经连续八年(2009-2016)在每届5000多名修课学生中采用与计算机结合的方法实施,使学生早期就接触了矩阵建模和MATLAB软件,在很多后续课程中都能使用计算机及MATLAB进行教学,线性代数被正式列为这些课程的先修课,真正地确立了它的基础课地位,明显提高了教学质量和学生的创新能力。师生在各种校际竞赛中屡屡领先。

根据二十年来推动工程教育中使用计算机,和十年来线数改革的经验,我们的教学内容和传统的内容有很大不同。大体表现在三个方面:

1. 实用化:以解决实际问题为主导,因此注重于对问题的建模,即建立矩阵模型;而不是推导数学课内的公式;本书提供的几十个实例,涉及十多门课程中的应用,包括复杂线性系统的化简、三维精密测量数据点的拟合…等后续课中的难题,都可用本课提供的方法解决,这都是古典线性代数束手无策的。

2. 现代化:用计算机和数学软件MATLAB代替笔算,节省了学生很多时间,使他们把更多注意力放到解决工程中高阶和精密的线数问题,同时也可以充分利用1950年以来线性代数的最新成果,如qr(正交)分解、svd(奇异值)分解等,它们都集成在软件工具中。

3. 大众化:我们去除了许多工程中完全无用的线数概念,降低了本课程的学时消耗和理论门槛,使多年不接触数学的工程技术人员都能在30学时内掌握。由于现在考研还是按经典线性代数命题的,删掉了这些内容不利于考研,所以本慕课特别适合于不需考研的在职人员的继续教育。

要学好本课,读者应准备装有MATLAB最低版本的计算机。本书的程序集和部分论文,可到陈怀琛的主页网站上去下载,网页地址为:

http://chen.matlabedu.cn

授课目标

1. 线性方程组:掌握高阶适定方程组求解的基本原理,并会用MATLAB实施;
2. 矩阵建模:读者应掌握高阶线性方程组转换为矩阵模型的方法;
3. 了解超定和欠定方程组的意义,会解超定方程;
4. 初步掌握坐标变换矩阵对平面图形形状与位置的影响;
5. 初步了解线性代数在解决后续课程中的应用。

证书要求

平时章节测验成绩占20%,期末考试占80%,按百分制计分,60分至79分为合格,80至100分为优秀。

预备知识

中学代数

授课大纲

第1章 线性方程组与矩阵(连序言及MATLAB入门共两周4学时,杨威讲)
1.1 概述
1.2 二元和三元线性方程组解的几何意义
1.3 高斯消元法与阶梯形方程组
1.4 矩阵及矩阵的初等变换
1.5 行阶梯形矩阵的用途
1.6 应用实例

第2章 矩阵运算及其应用(两周4学时,杨威讲)
2.1 矩阵的加、减、乘法
2.2 矩阵的逆
2.3 矩阵的分块
2.4 初等矩阵
2.5 行阶梯形变换等价于矩阵乘法——LU分解
2.6 应用实例

第3章 行列式(连MATLAB绘图共两周4学时,陈怀琛讲)
3.1 二、三阶行列式的意义
3.2 n阶行列式的三种定义方法及本书的选择
3.3 行列式的性质
3.4 行列式的计算机算法
3.5 应用实例

第4章 平面和空间向量(两周4学时,马建荣讲)
4.1 向量的类型
4.2 向量及其线性组合
4.3 向量组的线性相关性
4.4 从向量空间看线性方程组的解
4.5 用MATLAB解线性方程组综述
4.6 应用实例

第5章 线性变换及其特征(两周4学时,陈怀琛讲)
5.1 平面上线性变换的几何意义
5.2 用线性变换表述物体的形变和运动
5.3 正交坐标系
5.4 以数据为基础建立坐标系及QR分解
5.5 方阵的对角化及其应用
5.6 应用实例

第6章 线性代数在后续课程中的应用举例(连结束语共两周4学时,陈怀琛讲)
6.1 电路中的应用
6.2 力学中的应用
6.3 信号与系统中的应用
6.4 数字信号处理中的应用
6.5 在空间解析几何中的应用
6.6 测量学中的应用
6.7 动漫技术中的应用
6.8 自动控制系统中的应用
6.9 机器人运动学中的应用
6.10 文献管理中的应用
6.11 经济管理中的应用
MATLAB的矩阵代数和作图初步(此内容占2学时,将分别插入第一、二、三章中讲授)

第7章 线性代数在工程和科技中的应用举例(电子稿,放在网上可下载,不列入教学大纲)
合计(24学时,分12周实施)

参考资料

[1] 陈怀琛,《实用大众线性代数(MATLAB版)》,西安,西安电子科技大学出版社,2014.8。
[2] 陈怀琛,高淑萍,杨威,《论非数学专业的线性代数》,应用数学和工程数学国际会议,苏州,2016.4(第十二周可下载)
[3]杨威,高淑萍,《线性代数机算与应用指导》,西安,西安电子科技大学出版社,2009.4
[4]《实用大众线性代数》程序集
[5]陈怀琛,龚杰民,《线性代数实践及MATLAB入门》(第一版),北京,电子工业出版社,2005.10
[6]陈怀琛,吴大正,高西全,《MATLAB及其在电子信息课程中的应用》,北京,电子工业出版社,2002.6
[7]钱学森,回顾与展望,《老交大的故事》,江苏人民出版社,1989(第八周可下载)
[8]陈怀琛,数字滤波器的信号流图方程和计算机求解,信号处理,Vol.19,2003(第十一周可下载)
[9]陈怀琛,论工科线性代数的现代化与大众化,《高等数学研究》,第15卷第[82期,2012年2月,西安(第九周可下载)
[10]陈怀琛,屈胜利,何雅静,复杂线性控制系统化简的矩阵方法,中国控制大会,CCC2010,2010.10(第十一周可下载)

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