工科数学分析(一)

工科数学分析MOOC课程涵盖了经典数学分析课程内容,增加了许多应用数学解决实际问题的案例,培养同学们应用数学能力。本套视频课程利用多媒体技术,采用抽象数学课程直观化的动态多媒体演示授课模式,为同学们营造1对1的视频授课环境。本套视频课程为同学们打开一扇窗,同学们会发现数学世界很大很大。

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工科数学分析

课程概述

工科数学课程(一)教学内容包括:数列极限的基本理论、一元函数极限与连续、 一元函数微分学、不定积分与定积分、广义积分、数项级数。工科数学课程(一)MOOC课程体系循序渐进,从浅入深,符合同学们的认知规律,每一章都设有供同学们选学的提高课,这些内容为同学们打开现代数学的窗口,满足不同程度学生的需求。本套视频课程充分利用多媒体技术,将抽象数学课程直观化,绘制近4000幅异彩纷呈的图解释数学问题,帮助同学们对数学问题知其然又要知其所以然,学懂数学。通过本套视频课程的学习,希望同学们走进数学世界,体会学习数学的快乐。

授课目标

通过本课程的系统学习,掌握数学分析中的基本概念、理论和方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象力和计算能力,提高学生对相关数学理论的阅读与应用能力,为后续课程的学习和研究打下坚实的基础。

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。
课程学习成绩由三部分构成:
(1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题,所有单元测验分数占课程成绩的60%。
(2)参与课程讨论10%
(3)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占30%。
完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>80分)的可获得优秀证书。

预备知识

高中数学

授课大纲

第1章数列极限
掌握数列极限的定义、收敛数列的基本性质、单调有界定理、闭区间套定理、确界定理、柯西 收敛原理、有限覆盖定理。

第2章函数极限与连续性
掌握集合映射的基本概念、函数极限的定义与基本性质、函数极限的海涅定理和柯西收敛原理、无穷小与无穷大的阶的定义与计算、连续函数与一致连续、有限闭区间上连续函数的性质。了解压缩映射原理的应用。

第3章 函数的导数与微分
掌握导数概念、基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则、复合函数求导的链式法则、高阶导数的莱布尼茨公式、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。掌握函数的单调性和极值、凹凸性及拐点的判定方法、罗比塔法则求函数的极限。

第4章泰勒公式
掌握函数微分的概念、泰勒公式(皮亚诺、拉格朗日余项)以及近似计算。了解泰勒公式在实际问题中的应用与拉格朗日插值逼近。

第5章不定积分
掌握原函数的概念、不定积分的两类换元公式以及分部积分公式。掌握有理函数、三角有理函数不定积分的判别方法。

第6章定积分
掌握定积分概念及其基本性质、微积分基本定理、积分中值定理、定积分的分部与换元积分法。函数可积的条件:达布上和下和定理,了解函数可积的勒贝格定理。

第7章定积分的应用
掌握平面面积,旋转体体积,旋转曲面面积、平面曲线的曲率与弧长的计算方法;掌握定积分的物理应用:变力做功、重心坐标、转动惯量等物理量的求解方法。

第8章广义积分
掌握无穷区间上积分与瑕积分的定义与计算、非负函数广义积分收敛的判别方法及其应用、广义积分收敛的柯西定理、狄利克雷和阿贝尔判别法及其应用。

第9章数项级数
掌握无穷级数收敛的概念及其基本性质、正项级数判别法(比较判别法,柯西判别法,达郎贝尔判别法、拉贝判别法)、一般项级数收敛的狄利克雷和阿贝尔判别法;掌握绝对收敛和条件收敛以及更序定理。

参考资料

《工科数学分析教程》 (上、下册),杨小远主编,科学出版社。

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